１．２NＧS方程

流體的控制方程采用描述流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的NavierＧStokes(NＧS)方程，其形式為：?·u＝０(２) ? u ? t＋u·? u＋１ ρ? P＝ g＋ ν?２ u(３)其中，u為速度場(chǎng)；P為壓力場(chǎng)；ν為流體的動(dòng)力學(xué)黏度；ρ為密度；?為空間梯度算符；g為外力；?２為拉普拉斯運(yùn)算符。(２)式、(３)式分別代表流體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量與動(dòng)量守恒定律。使用SPH方法求解NＧS方程的基本過(guò)程如下：ρi＝∑ N j＝１ mjW(xi－xj, h)(４) pi＝ k( ρi－ ρ０)(５) f p i＝－∑ N j＝１ mj pi＋ pj ２ ρj ? W(xi－xj, h)(６) f ν i＝ μ∑ N j＝１ mj uj－ ui ρj ?２ W(xi－xj, h)(７)其中，k為氣體狀態(tài)方程常數(shù)；ρ０為流體的靜止密度；f p i、f ν i分別為粒子所受的壓力和黏性力；pi、pj分別為第i個(gè)、第j個(gè)粒子的壓強(qiáng)；ui、 uj分別為第i個(gè)、第j個(gè)粒子的速度。

２改進(jìn)的CSF流體表面張力模型

２．１CSF流體表面張力模型

CSF模型流體表面張力的實(shí)施首先是對(duì)流場(chǎng)定義色標(biāo)函數(shù)，位于流體粒子位置的色標(biāo)值為１，位于流體粒子之外位置的色標(biāo)值為０。通過(guò)已定義的色標(biāo)函數(shù)場(chǎng)，可以得到表面法向以及表面曲率，通過(guò)表面法向和表面曲率的信息得到表面張力，計(jì)算公式為：fs＝ σk( x) ^n(８)其中，σ為表面張力系數(shù)；k( x)為表面 x處的曲率；^n為界面的單位法向。法向 n的計(jì)算公式為：n＝? c( x)(９)其中，c( x)為人為引入的色標(biāo)函數(shù)。曲率計(jì)算公式為：k＝－(?· ^n)(１０)

２．２改進(jìn)的CSF流體表面張力模型

２．２．１流體表面的切向力

傳統(tǒng)的流體表面張力的求解只是對(duì)色標(biāo)函數(shù)求梯度，表面張力的方向就是色標(biāo)函數(shù)的梯度方向，也就是說(shuō)傳統(tǒng)的流體表面張力的方向和表面法向相同；傳統(tǒng)的流體表面張力模擬將表面的法向力作為表面張力，由于近似計(jì)算導(dǎo)致的計(jì)算誤差使得流體表面張力的模擬很難到達(dá)自然界中的平滑狀態(tài)，會(huì)出現(xiàn)凹凸不平，甚至尖角的模擬效果。本文在傳統(tǒng)的CSF流體表面張力的基礎(chǔ)上，考慮流體表面的法向力和切向力的綜合作用，使得流體表面達(dá)到足夠光滑。流體表面張力的切向力f切向i計(jì)算公式為：f切向i＝－∑j mimj ρiρj λ( ni－ nj) W( xi－ xj, h) (１１)其中，λ為一個(gè)可調(diào)節(jié)的參數(shù)。對(duì)于任意一對(duì)相鄰的流體粒子i和j，有f切向i← j＝－ mimj ρiρj λ( ni－ nj) W( xi－ xj, h), f切向j← i＝－ f切向 i← j ì ? í ?? ?? (１２)其中，f切向i← j、f切向 j← i分別為粒子j對(duì)粒子i的切向力、粒子i對(duì)粒子j的切向力。因?yàn)樗┘拥谋砻鎻埩η邢蛄κ菍?duì)稱的，所以切向力的施加能夠保持系統(tǒng)的動(dòng)量守恒條件。

２．２．２密度修正

針對(duì)CSF流體表面張力模型中流體表面的粒子數(shù)目較少，流體表面的流體粒子密度求和的邊界截?cái)嗾`差較大，進(jìn)而導(dǎo)致流體表面張力模擬不穩(wěn)定的問(wèn)題，本文對(duì)邊界粒子的密度進(jìn)行修正，計(jì)算公式為：ρi＝∑ N j＝１ mjWij∑ N j＝１ mj ρj Wij(１３)其中，Wij＝ W( xi－ xj, h)。

２．３本文算法流程

（１）流體粒子初始布局。（２）利用修正的密度求和公式計(jì)算流體粒子密度。（３）對(duì)所有粒子j，計(jì)算其壓強(qiáng)pj。（４）對(duì)所有粒子j，計(jì)算其壓力f p j和黏性力f ν j。（５）計(jì)算流體粒子j的表面張力。（６）更新流體粒子j的速度與位置。（７）返回步驟（２）。

３仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別用文獻(xiàn)方法、文獻(xiàn)方法及本文方法模擬在表面張力作用下水珠的形成過(guò)程，對(duì)比它們的模擬效果，如圖１所示。圖１方形液滴在表面張力作用下的變形３４１第１期汪歡歡，等：改進(jìn)的CSF流體表面張力模型實(shí)驗(yàn)在Window７平臺(tái)上進(jìn)行，采用Visual Studio２０１３。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R)Core(TM) i５Ｇ２４００，３．１０GHzCPU，４G內(nèi)存，NVIDIA GeＧ forceGT６２０顯卡，實(shí)驗(yàn)所采用的流體粒子數(shù)目為１０２４。模擬總幀數(shù)為５００，文獻(xiàn)方法、文獻(xiàn)方法及本文方法分別用時(shí)９．１２、９．８７、９．３４s。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文方法與文獻(xiàn)方法、文獻(xiàn)方法的模擬時(shí)間差異很小，但本文方法模擬的水珠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)表面更加圓滑，這說(shuō)明本文方法可以更準(zhǔn)確、有效地模擬流體表面張力。

４結(jié)論

本文提出一種改進(jìn)的流體表面張力處理算法，該算法在傳統(tǒng)CSF模型流體表面張力的基礎(chǔ)上，施加切向力，并且對(duì)于流體的邊界粒子進(jìn)行密度修正。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的改進(jìn)的CSF流體表面張力算法能夠很好地模擬流體表面張力效果；與其他方法模擬結(jié)果相比，本文方法改善了流體表面的光滑性。