摘要

將具有簡單速度勢的Layzer模型和Zufiria模型推廣至非理想流體情況，并分別利用這兩種模型研究了界面張力對Rayleigh-Taylor不穩定性的影響。首先得到了兩種模型下氣泡的漸近速度和漸近曲率的解析表達式；其次系統研究了界面張力對氣泡的漸近速度和漸近曲率的影響；最后將兩種模型進行了比較，并將氣泡的漸近速度和數值模擬進行了比較。研究表明：界面張力壓低了氣泡的速度，但對曲率沒有影響；利用簡單速度勢的Layzer模型所得的氣泡的漸近速度比復雜速度勢的Layzer模型的值小，但是比Zufiria模型的值大；當阿特伍德數等于1時，簡單速度勢的Layzer模型和復雜速度勢的Layzer模型給出的結果一致。

引言

兩種密度不同的流體混合，當密度梯度和外場加速度相反時，界面所表現出的不穩定現象被稱為Rayleigh-Taylor不穩定性。RT不穩定性是流體力學中的重要問題，廣泛存在于天體物理、等離子體、核聚變、慣性約束聚變中，對該問題的深入研究具有重要的理論和現實意義。

RT不穩定性大致可以分為三個階段：早期線性增長階段、非線性增長階段和湍流混合階段。在早期階段，微擾振幅增長率呈指數增長，這一點人們已經達成共識。當微擾振幅和波長可以比擬時，非線性發生，此時重流體以尖釘的形式在輕流體中演化，而輕流體則以氣泡的形式在重流體中上升。在非線性增長的后期，氣泡和尖釘則是以恒定的速度增長。為了描述這一階段的演化，歷史上曾出現兩種主要的理論模型，一種是Layzer模型，另一種是Zufiria模型。1955年Layzer建立了適用于氣泡頂端附近的勢流模型，被稱之為Layzer模型。Zhang后來對該模型的速度勢進行了修改。Goncharov、Sohn等人分別提出了新的速度勢，將Layzer模型推廣并應用于任意密度比情形。1988年Zufiria提出了另一種理論模型，該模型假想在氣泡的下面存在一個點源，又稱點源模型。Zufiria模型的速度勢是復數，而Layzer模型的速度勢是實數。Zufiria模型的運算過程比Layzer模型復雜。早期Zufiria模型也只適用于無限密度比情形。后來Sohn將其推廣并應用于任意密度比情形。

Layzer模型和Zufiria模型都是建立在理想流體之上。然而對實際流體而言，很多因素都可以影響RT不穩定性的演化情況，如密度比、黏性、界面張力、壓縮性、外場加速度、Kelvin-Helmholtz不穩定性等。Young和Sohn利用Goncharov提出的復雜速度勢，將Layzer模型推廣并應用到非理想流體中，研究了界面張力對RT不穩定性增長的影響，發現界面張力降低了氣泡的增長速率。2011年本文的作者之一利用Zufiria模型研究了黏性對RT不穩定性增長的影響。但是，目前沒有人利用Sohn提出的簡單速度勢的Layzer模型研究界面張力對RT不穩定性的影響，也沒有人利用Zufiria模型研究界面張力對RT不穩定性的影響。

本文分別利用Sohn提出的簡單速度勢的Layzer模型和Zufiria模型研究界面張力對RT不穩定性增長的影響，并對不同模型進行比較。

利用Layzer模型研究RT氣泡速度

假定兩種流體裝在一個無限長的豎直管中，重流體在上，輕流體在下面，兩種流體是無旋、不可壓縮的非理想流體。研究主要集中在層流、單模耦合。兩種流體的交界面用(y=eta(x,t))描述，并建立如圖1所示的坐標系。氣泡的頂端類似于拋物線，因此可將界面在氣泡頂端附近將交界面處的方程進行泰勒展開，并保留二次項。

因為流體是無旋的，速度勢滿足Laplace方程：

Young等利用復雜速度勢單獨考慮了界面張力對RT不穩定性的影響。在此，將本次結果和Young等的結果進行了比較，如圖2所示，實線是本次結果，虛線是Young等人的結果。可以發現，當邦德數較小時，界面張力很大，兩種結果所計算的弗勞德數基本一致；而當邦德數較大時，界面張力較小，發現本次工作的結果小于Young等人的結果。

當取邦德數一定時，氣泡的弗勞德數隨阿特伍德數的變化如圖3所示。在圖3中Bo=20pi^2。從圖中可以發現，利用Goncharov所提出的復雜速度勢運算的結果比本次工作稍微大一些。在阿特伍德數等于1時，兩種理論結果完全一致。當阿特伍德數較小時，兩種理論結果也基本一致。

利用Zufiria模型研究RT氣泡速度

Zufiria模型假設在氣泡的頂端下面存在一個點源，點源的強度為Q，在氣泡的頂端建立動坐標系，如圖4所示。重力加速度為g，氣泡頂點到點源的距離為H，氣泡的曲率半徑為R。假定在一個無限長的豎直管內裝有兩種流體，管道的寬為D，兩種流體是無旋的。輕重流體的復雜勢分別表示為(F_1(z)=varphi_1+itheta_1)，(F_h(z)=varphi_h+itheta_h)。其中varphi_h(varphi_1)和theta_h(theta_l)分別是重（輕）流體的速度勢和流函數。在動坐標系((hat{x},hat{y}))中，氣泡頂端界面可以表示為(z(t)=y(t)+i x(t))，氣泡頂端的界面可以表示為：

將Zufiria模型和Layzer模型進行對比，結果如圖5所示。從圖5明顯看出：界面張力都降低了氣泡的漸近速度；在考慮界面張力的情況下，Zufiria模型所計算的漸近速度比Layzer小。從圖中還可以發現，當邦德數小于200時，氣泡的漸近速度受界面張力的影響較大。當邦德數趨于無窮大（即理想流體）時，兩種模型的差別依舊很明顯。

圖6將Layzer模型和Zufiria模型進行了比較。可以看出，在理想流體情況下，Zufiria模型所計算的氣泡的漸近速度小于Layzer模型；在考慮界面張力的情況下，Zufiria模型的結果仍然小于Layzer模型的結果。這一結論和Sohn所得結果一致。

最后，我們將兩種理論模型的結果與數值模擬進行了比較，如圖7所示。在誤差允許的范圍內，Zufiria模型和Layzer模型與數值模擬符合的都很好。由簡單速度勢的Layzer模型得出的結果更接近于數值模擬。另外，從圖7中還可以看出，簡單速度勢的Layzer模型計算值比數值模擬結果高，而Zufiria模型比數值模擬低。這可能由于Zufiria模型假設速度勢是復數勢，會人為引進速度的耗散，導致結果比數值模擬低，而Layzer模型的計算值略高于數值模擬的原因可能由于數值模擬沒有達到漸近速度。

結論

本文將簡單速度勢的Layzer模型和Zufiria模型推廣至非理想流體，并利用兩種模型考慮了界面張力的影響。分別得出了利用簡單速度勢的Layzer模型和Zufiria模型在考慮界面張力情況下Rayleigh-Taylor不穩定性非線性演化后期氣泡的漸近解和曲率半徑的解析表達式。定量分析了模型之間的差別。結果表明：界面張力壓低了氣泡的漸近速度，但卻對氣泡的曲率沒有影響。在考慮界面張力的情況下，簡單速度勢的Layzer模型比復雜速度勢的Layzer模型給出的漸近速度小，但在阿特伍德數趨于1時，兩種模型的結果一致；Zufiria模型的結果始終小于Layzer模型。